On the porous medium equations, fast diffusion equations and compressible Navier-Stokes equations, new results on the quasi-solutions and on the scaling of the equations

In [3,4,5], we have developed a new tool called the quasi solution which approximate in some sense the compressible Navier-Stokes equation. In particular it allows to obtain global strong solution for the compressible Navier-Stokes equations with large initial data on the irrotational part of the velocity ( large in the sense that the smallness assumption is subcritical in terms of scaling, it turns out that in this framework we are able to obtain large initial data in the energy space in dimension N = 2). In this paper we are interesting in studying in details this notion of quasi solution and in particular proving global weak solution, we also observe that for some choice of initial data (irrotationnal) we obtain some quasi solutions verifying the porous medium equation, the heat equation or the fast diffusion equation in function of the structure of the viscosity coefficients. Finally we show the convergence of the global weak solution of compressible Navier-Stokes equations to the quasi solutions when the pressure vanishing. We are also going to discuss the notion of scaling of the solution for compressible Navier-Stokes equations which justifies the notion of quasi solution. Résumé Sur les milieux poreux, les équations à diffusion rapides, les équations de Navier-Stokes compressibles, Nouveaux résultats sur les quasi-solutions ainsi que sur la notion de scaling Dans [3,4,5], nous avons développé un nouvel outil appelé quasi solution qui approxime dans un certain sens les équations de Navier-Stokes compressible. En particulier cela permet d’obtenir des solutions fortes globales pour les équations de Navier-Stokes compressible avec des données initiales grandes sur la partie irrotationelle de la vitesse ( grande dans le sens d’une condition de petitesse sous critique, cela permet en particulier d’obtenir des solutions fortes globales en dimension N = 2 avec des données initiales grandes dans les espaces d’énergie). Dans ce papier nous sommes intéressé par étudier en détails ces quasi solutions et en particulier l’existence de solutions faibles globales, nous montrons que dans certains cas ces solutions vérifient les équations des milieux poreux, de l’équation de la chaleur et des équations à diffusion rapide en fonction de la structure des coefficients de viscosité. Nous montrons également la convergence des solutions faibles globales de Navier-Stokes coupressible vers ces quasi solutions lorsque la pression s’annule. Nous discutons enfin la notion de scaling pour les équations de Navier-Stokes compressible qui justifie cette notion de quasi solution. Preprint submitted to the Académie des sciences 9 avril 2013 ha l-0 08 09 57 4, v er si on 1 9 Ap r 2 01 3 Version française abrégée Nous exhibons dans cette note des solutions aux quasi-solutions introduites dans [3,4,5] dans le contexte des équations de Navier-Stokes compressible. Rappelons d’abord le système de Navier-Stokes compressible modélisant un fluide compressible, les équations prennent la forme suivante :  ∂tρ+ div(ρu) = 0, ∂t(ρu) + div(ρu⊗ u)− div(2μ(ρ)D(u))−∇(λ(ρ)divu) +∇P (ρ) = 0, (ρ, u)/t=0 = (ρ0, u0). (1) Ici u = u(t, x) ∈ R avec N ≥ 2 correspond à la vitesse du liquide, ρ = ρ(t, x) ∈ R sa densité et on a D(u) = 12 (∇u+ ∇u). La pression P s’écrit P (ρ) = aρ avec a > 0 et γ ≥ 1. μ(ρ) > 0 et Nλ(ρ)+2μ(ρ) > 0 sont les coefficients de viscosité. Dans la suite on suppose les coefficients de viscosités dégénérés et vérifiant en partie la relation algébrique suivante (voir Bresch, Desjardins dans [1]) : λ(ρ) = 2ρμ ′ (ρ)− 2μ(ρ). (2) On vérifie alors l’existence de quasi-solutions particulières définies comme dans [3,4,5], c’est à dire (ρ, u) est une quasi-solution du système (1) si (ρ, u) vérifie au sens des distributions :  ∂tρ+ div(ρu) = 0, ∂t(ρu) + div(ρu⊗ u)− div(2μ(ρ)D(u))−∇(λ(ρ)divu) = 0, (ρ, u)/t=0 = (ρ0, u0). (3) En particulier on montre que lorsque μ(ρ) = μρ avec α > 1 − 1 N (cette condition est nécessaire afin d’assurer l’inégalité Nλ(ρ) + 2μ(ρ) > 0) alors (ρ,− 2μα α−1∇ρ α−1) est une quasi-solution si ρ vérifie au sens des solutions fortes (voir [7] chapitre 9) : ∂tρ− 2∆ρ = 0. (4) Lorsque α < 1 on suppose que u = 0 lorsque ρ = 0. Remark 1 On observe donc que la notion de quasi-solution est lié aux équations des milieux poreux ainsi que des équations à diffusion rapide. Solutions autosimilaires Nous allons également montrer que comme pour les milieux poreux les équations de Navier-Stokes compressible admettent une invariance par échelle. En effet si (ρ, u) est une solution de (16) alors pour tout λ > 0 : ρλ(t, x) = λ ρ(λt, λx) et uλ(t, x) = λ 1u(λt, λx), est une solution de (16) avec α1 + β = 1, (λ− 1)α+ 2β = 1, α(γ − 1) + β = α1 + 1. Cela implique que : α = −1 λ− γ , α1 = 1− γ 2(λ− γ) et β = 2λ− γ − 1 2(λ− γ) . Email address: [email protected] (Boris Haspot). 2 ha l-0 08 09 57 4, v er si on 1 9 Ap r 2 01 3